Организация исследовательской
деятельности при обучении математике
в основной и старшей школе
Развитие информационного общества, научно-технические пре-
образования, рыночные отношения требуют от каждого человека вы-
сокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчи-
вости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и
безошибочно принимать решения.
Государство перед школой ставит задачу подготовить школьни-
ков к жизни в этом быстро изменяющемся мире.
Совершенно очевидно, что школа не в состоянии обеспечить
ученика знаниями на всю жизнь, он она может и должна вооружить
его методами познания, сформировать познавательную самостоя-
тельность.
В формировании многих качеств, необходимых успешному со-
временному человеку, может большую роль сыграть школьная дис-
циплина – математика. На уроках математики школьники учатся рас-
суждать, доказывать, находить рациональные пути выполнения зада-
ний, делать соответствующие выводы. Общепризнанно, что «матема-
тика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению», «мате-
матика ум в порядок приводит» как отмечал М.В. Ломоносов.
Тревогу о будущем своих учеников всегда испытывают учителя,
выпуская их в мир взрослых. Во многом на учителях лежит ответст-
венность за желание детей учиться, за качество их образования, а в
конечном итоге за успешную социализацию после окончания школы.
Школьнику необходимо получить добротное образование, уметь
на протяжении всей своей жизни обновлять и пополнять знания,
уметь реализовать свои лучшие качества, чтобы быть востребован-
ным.
Несмотря на трудности, учителя ищут эффективные пути и
средства развития потенциальных возможностей школьников. Для
этого наряду с традиционным обучением используют элементы но-
вых развивающих технологий.
Сравним системы традиционного и развивающего обучения.
2
Сравнительная характеристика
систем традиционного и развивающего обучения
Параметры Традиционное
обучение
Развивающее
обучение
Цели
обучения Усвоение ЗУН Общее развитие школь-
ника (ума, воли, чувств)
Методы
обучения
Объяснительно-
иллюстративные (мето-
ды сообщения готовых
знаний)
Деятельностно-
развивающие
(методы исследования)
Учитель Дающий знания
Организатор исследо-
вательской деятельно-
сти
Ученик Объект обучения Активный участник обу-
чения
Если в традиционной системе целью обучения является усвое-
ние знаний, умений и навыков, то в системе развивающего обучения
– общее развитие школьников, т.е. развитие ума, воли и чувств, что,
в конечном счете, направлено на формирование личности учащихся.
При традиционном обучении чаще всего используются объясни-
тельно-иллюстративные методы, т.е. методы сообщения учащимся
готовых знаний. При развивающем обучении преобладают деятель-
ностно-развивающие методы, когда знания не даются в готовом ви-
де, а учитель организует учащихся на их добывание, открытие.
Учитель в системе традиционного обучения – дающий знания, а
ученик – объект обучения. В системе развивающего обучения учи-
тель является организатором исследовательской деятельности
учащихся, а школьники – активными участниками обучения.
Основным методом всех технологий развивающего обучения
является исследовательская деятельность учащихся.
В научно-методической литературе методы исследования назы-
вают также метод открытий, эвристическим методом и методом ре-
шения проблем.
Говорят: «Новое – хорошо забытое старое». Одним из самых
первых сторонников метода открытия или исследования как осно-
3
вы обучения считают Яна Амоса Коменского. Но, пожалуй, самыми
пламенными защитниками этого метода были российские педагоги и
психологи начала XX века В.П. Вахтеров и Л.С. Выгодский.
И сегодня очень актуально звучат слова В.П. Вахтерова о том,
что образован не тот, кто много знает, а тот, кто хочет много
знать, и умеет добывать эти знания.
Он подчеркивал исключительную важность мыслительных уме-
ний школьников – умения анализировать, сравнивать, комбиниро-
вать, обобщать и делать выводы; важность умения пользоваться
приемами научного исследования, хотя бы и в самой элементарной
форме.
В принципе, ученый не отрицал и большую роль объяснительно-
иллюстративного метода, который дает возможность получения уча-
щимся большого количества сведений, направлен на быстрое запо-
минание готовых выводов, правил, формул и является наилучшим
для подготовки к экзаменам.
Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию
и исследованию окружающего мира. Правильно поставленное обуче-
ние должно совершенствовать эту склонность, способствовать разви-
тию соответствующих умений и навыков. Необходимо прививать
школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно-
исследовательской деятельности.
Исследовательская деятельность учащихся – это совокуп-
ность действий поискового характера, ведущая к открытию не-
известных для учащихся фактов, теоретических знаний и спосо-
бов деятельности.
В качестве основного средства организации исследовательской
работы выступает система исследовательских заданий.
Исследовательские задания – это предъявляемые учащимися
задания, содержащие проблему; решение ее требует проведения
теоретического анализа, применения одного или нескольких ме-
тодов научного исследования, с помощью которых учащиеся от-
крывают ранее неизвестное для них знание.
Цель исследовательского метода – «вызвать» в уме ученика тот
самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобре-
татель данного открытия или изобретения. Школьник должен почув-
ствовать прелесть открытия.
Таким образом, исследовательский процесс – это не только ло-
гико-мыслительное, он и чувственно-эмоциональное освоение знаний.
4
Рассмотрим основные этапы учебного исследования.
Основные этапы учебного исследования
1 Мотивация исследовательской деятельности
2 Формулирование проблемы
3 Сбор, систематизация и анализ фактического
материала
4 Выдвижение гипотез
5 Проверка гипотез
6 Доказательство или опровержение гипотез
1) Мотивация – очень важный этап процесса обучения, если
мы хотим, чтобы оно было творческим. Целью мотивации, как этапа
урока, является создание условий для возникновения у ученика во-
проса или проблемы. Одним из способов осуществления мотивации
может служить исходная (мотивирующая задача), которая должна
обеспечить «видение» учащимися более общей проблемы, нежели та,
которая отражена в условии задачи.
2) Этап формулирования проблемы – самый тонкий и
«творческий» компонент мыслительного процесса. В идеале сформу-
лировать проблему должен сам ученик в результате решения мотиви-
рующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случа-
ется далеко не всегда: для очень многих школьников самостоятельное
определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки
могут оказаться неправильными. А поэтому необходим контроль со
стороны учителя.
3) Сбор фактического материала может осуществляться
при изучении соответствующей учебной или специальной литерату-
ры либо посредством проведения испытаний, всевозможных проб,
измерения частей фигуры, каких-либо параметров и т.д. Пробы (ис-
пытания) не должны быть хаотичными, лишенными какой-либо логи-
ки. Необходимо задать их направление посредством пояснений, чер-
5
тежей и т.п. Число испытаний должно быть достаточным для получе-
ния необходимого фактического материала.
Систематизацию и анализ полученного материала
удобно осуществлять с помощью таблиц, схем, графиков и т.п. – они
позволяют визуально определить необходимые связи, свойства, соот-
ношения, закономерности.
4) Выдвижение гипотез. Полезно прививать учащимся
стремление записывать гипотезы на математическом языке, что при-
дает высказываниям точность и лаконичность. Не нужно ограничи-
вать число предлагаемых учащимися гипотез.
5) Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомнить-
ся в истинности предложений, а может внести изменения в их форму-
лировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять
посредством проведения еще одного испытания. При этом результат
новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если
результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее
истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основа-
нием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедли-
вости.
6) На последнем этапе происходит доказательство истин-
ности гипотез, получивших ранее подтверждение; ложность же
их может быть определена с помощью контрпримеров. Поиск необ-
ходимых доказательств часто представляет большую трудность, по-
этому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки.
6
В качестве иллюстрации учебного исследования приведу фраг-
мент урока геометрии по теме «Теорема Пифагора».
Мотивирующей (исходной) за-
дачей может служить следующая за-
дача: «Для крепления мачты нужно
установить 4 троса. Один конец
каждого троса должен крепиться
на высоте 12 м, другой на земле на
расстоянии 5 м от мачты. Хватит
ли 50 м троса для крепления мач-
ты?»
Анализируя математическую
модель этой практической задачи,
учащиеся формулируют проблему –
нужно найти гипотенузу прямо-
угольного треугольника по двум из-
вестным катетам.
Для решения этой проблемы
можно организовать практическую
работу исследовательского характе-
ра, предложив учащимся задание по
рядам: построить прямоугольные
треугольники с катетами 12 и 5; 6 и 8; 8 и 15 см и измерить гипотену-
зу.
Результаты заносятся в таблицу.
а 12 6 8
b 5 8 15
с 13 10 17
Затем учащимся предлагается выразить формулой зависимость
между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольни-
ках. Школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются.
После установления зависимости между сторонами прямоуголь-
ного треугольника эмпирический вывод требует теоретического
обоснования, т.е. доказывается теорема Пифагора.
7
В качестве домашнего задания по этой теме можно предложить
исследовательскую работу со следующей мотивирующей задачей:
«Кто же на самом деле открыл теорему Пифагор? Почему она дол-
гое время называлась «теоремой невесты»? Существуют ли другие
доказательства теоремы?»
Целью этой исследовательской работы – научить учеников ис-
пользовать дополнительную литературу, применять Интернет в соб-
ственной образовательной деятельности.
Приведу несколько примеров мотивирующих задач.
При изучении темы «Сумма внутренних углов треуголь-
ника» в качестве исходного задания можно предложить такую зада-
чу: «Построить треугольник по трем заданным углам:
1) Ð А = 90о, Ð В = 60о, Ð С = 45о;
2) Ð А = 70о, Ð В = 30о, Ð С = 50о;
3) Ð А = 50о, Ð В = 60о, Ð С = 70о».
Учащиеся, вооружившись линейкой и транспортиром, начинают
строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отло-
жив угол в 45о от луча АС (или ВС, кому как нравится), ребята уви-
дят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во вто-
ром случае независимо от того, какие первые два угла школьники
выбирают для построения, всегда получается треугольник, третий
угол которого больше, либо меньше заданного. И только в третьем
случае выстраивается треугольник по трем заданным углам.
По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме
углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: «В ка-
ком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов боль-
ше, в остроугольном или тупоугольном?» Практика показывает, что
почти в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная,
что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма
внутренних углов тупоугольного треугольника больше, чем остро-
угольного. Далее им предлагается на практике проверить свое утвер-
ждение.
8
На уроке геометрии по теме «Вычисление объемов тел с
помощью интеграла» учащимся можно задать следующий во-
прос: «Может ли фигура с бесконечной площадью дать при враще-
нии тело с конечным объемом?» Учащиеся, скорее всего, ответят, что
такое невозможно. Разубедить их помогает пример рассмотрения фи-
гуры, ограниченной гиперболой ,
x
y = 1 осью Ох и прямой х = 1, кото-
рая вращается вокруг оси Ох.
Такое учебное исследование можно назвать «учебным расследо-
ванием». Расследование показывает учащимся, что наглядность,
жизненный стереотип иногда приводят к ошибке, а может выручить
лишь математика.
9
Математика дает широкое поле для исследования. Изучая мате-
матику, учащиеся кратко повторяют путь человечества, который оно
прошло, добывая математические знания.
Например, рассматривая многогранники, учащиеся могут са-
мостоятельно прийти к соотношению между числом вершин, граней
и ребер для любого выпуклого многогранника, которое выражается
известной формулой Эйлера.
Для эксперимента учащимся предлагаются модели различных
выпуклых многогранников, используя которые, они заполняют таб-
лицу.
Вид многогранника В Г Р Примечание
Тетраэдр
Октаэдр
Икосаэдр
Додекаэдр
12-угольная пирамида
8-угольная призма
…
Не следует предлагать учащимся вычислять значения готового
выражения
В + Г – Р.
Больше пользы будет в том случае, если они сами, выполняя
действия над числовыми характеристиками, получат требуемое ра-
венство. Лишь в случае значительных затруднений можно оказать им
некоторую помощь.
10
Иногда за урок удается решить одну крупную проблему, или же
урок может содержать несколько мелких проблемных заданий.
Урок-исследование по теме «Свойства квадратного кор-
ня» можно провести в форме эвристической беседы, т.е. с помощью
системы вопросов-ответов, в результате чего учащиеся «открывают»
свойства квадратного корня.
Сначала задаются вопросы, нацеливающие учащихся на наблю-
дение за математическими объектами, на абстрагирование от несуще-
ственных свойств этих объектов.
1. Выполните действия и сравните полученные результаты:
16 × 4 и 16 × 4 ; 25×9 и 25 × 9 .
2. Запишите в буквенной форме замеченное вами свойство.
Каковы допустимые значения входящих в записываемое ра-
венство переменных?
3. Выполняется ли записанное вами равенство, если входящие в
него множители не являются точными квадратами?
Теперь наблюдения учащихся должны оформиться в виде дока-
зательств. К ним школьников подталкивают следующие вопросы.
4. Докажите ваше предположение, используя определение
арифметического квадратного корня.
Чему равно выражение ( )2 a × b ?
Чему равно выражение ( )2 a × b ?
5. Как бы вы назвали доказанное свойство? Сформулируйте его
в словесной форме.
6. Выполняется ли такое свойство для корня из произведения
трех множителей?
7. Можно ли обобщить это свойство на случай произвольного
числа сомножителей?
8. Имеет ли смысл выражение (- 100)× (- 81) ?
9. Можно ли применить к нему свойство корня из произведе-
ния?
10. Как записать в буквенной форме равенство, позволяющее
это сделать?
Работа класса продолжается исследованием свойства корня из
дроби. Причем она проходит по вопросам, аналогичным тем, что
приведены в пунктах 1–5. После того как сформулировано свойство
арифметического корня из дроби, учащиеся демонстрируют на при-
мерах применение этого свойства.
11
Следующий этап урока нужно посвятить предупреждению оши-
бок, которые учащиеся часто допускают в этой теме.
11. Существует ли свойство корня из суммы; корня из разно-
сти?
На описанном уроке происходит формирование таких исследо-
вательских умений, как умение выдвигать гипотезу на основе анализа
данных и по аналогии с известным решением. Учащимся приходится
проводить доказательство утверждения с опорой на определение и
посредством записи закономерности в буквенной форме.
Кроме уроков-исследований существуют также мини-
исследования. В них присутствуют лишь некоторые исследователь-
ские элементы. Выполнение задания занимает несколько минут.
Вот примеры совсем небольших проблем-вопросов: «Почему
треугольник назван «треугольником»? Можно ли дать ему другое
название, также связанное с его свойствами?»
«Как можно объяснить название «развернутый угол»?»
«В Древнем Египте после разлива Нила требовалось восстано-
вить границы земельных участков, для чего на местности необходи-
мо было уметь строить прямые углы. Египтяне поступали следую-
щим образом: брали веревку, завязывали на равных расстояниях узлы
и строили треугольники со сторонами, равными 3, 4 и 5 таких от-
резков. Правильно ли они поступали?»
Использование исследований на уроках способствует сближе-
нию образования и науки, так как в обучение внедряются практиче-
ские методы исследования объектов и явлений природы – наблюде-
ния и эксперименты, которые являются специфичной формой прак-
тики. Их педагогическая ценность в том, что они помогают учителю
подвести учащихся к самостоятельному мышлению и самостоятель-
ной практической деятельности; способствуют формированию у
школьников таких качеств, как вдумчивость, терпеливость, настойчи-
вость, выдержка, аккуратность, сообразительность; развивают иссле-
довательский подход к изучаемым технологическим процессам.
Кроме исследовательской работы на уроках возможна самостоя-
тельная исследовательская работа учащихся. Виды самостоятельных
исследовательских работ разнообразны.
12
Самостоятельная исследовательская работа учащихся предпола-
гает наличие основных этапов, характерных для научного исследова-
ния.
Основные этапы научного исследования
1 Постановка проблемы
2 Знакомство с литературой по проблеме исследования
3 Сбор собственного материала
4 Анализ, обобщение
5 Выводы
Результат исследования неизвестен заранее.
Конечный результат обладает практической ценностью.
В нашей школе подготовка учащихся к выполнению ис-
следовательских работ начинается с начальной школы и осуще-
ствляется за счет дополнительного образовательного компонента.
В начальных классах используются специальные упражнения
для развития памяти, внимания, наблюдательности под руководством
учителя. Результаты обрабатываются.
Учащиеся 5–7-х классов приобретают простейшие знания, уме-
ния и навыки, необходимые для выполнения исследовательской ра-
боты. Детей обучают основам самостоятельной деятельности, разви-
вают нестандартное мышление. Учащиеся выступают с сообщениями
о происхождении того или иного математического термина, о жизни
и деятельности ученых, творивших науку, об истории математиче-
ских открытий, о практическом применении знаний, полученных при
изучении темы. Написание математических сказок, составление ма-
тематических кроссвордов требуют от учащихся большой самостоя-
тельности и творческого подхода.
Учащиеся 8 – 9-х классов выполняют исследовательские зада-
ния творческого характера. На этом этапе усложняются формы ис-
следовательской работы, увеличивается их объем. Учащимся предла-
гались следующие темы для рефератов и исследовательских работ:
13
История возникновения геометрии.
Симметрия на плоскости.
Замечательные точки в треугольнике.
Различные способы доказательства теоремы Пифагора.
Декарт и его геометрия.
Графы и их применение при решении задач.
Математика на шахматной доске.
Проценты в окружающем мире.
…
В 10 – 11 классах происходит углубление знаний по методике
исследования и обработке результатов. Учащиеся выбирают интере-
сующую их тему для исследования и работают над ней. Все это осу-
ществляется в процессе длительной самостоятельной работы по ин-
дивидуальной программе.
Специальными формами ученических исследований также счи-
таются подготовка учащимися методических пособий, сборников за-
дач, учебных видеофильмов, моделей, которые могут использоваться
на уроках.
Учащимися были выбраны следующие темы для работы:
Матемизация знаний в современном мире.
Математика в экономике и банковском деле.
Лобачевский и его геометрия.
Применение метода математической индукции при решении
задач.
Уравнения высоких степеней.
…
В школе в профильных классах введен спецкурс «Введение в
научно-исследовательскую деятельность» для подготовки
учащихся к самостоятельной исследовательской деятельности, рас-
считанный на 17/34 ч. На спецкурсе учащиеся знакомятся с методами
исследования, видами научно-исследовательских работ, требования-
ми к оформлению работы и т.д.
В конце работы учащиеся представляют творческие отчеты в
рамках Недели математики. Формы могут быть различными: выпуск
газеты, школьного журнала, оформление выставки, творческий отчет
по эксперименту, защита реферата или исследовательской работы.
Лучшие работы учащихся награждаются грамотами, дипломами,
подарками.
14
В некоторых школах существуют научные общества учащихся,
проводятся ежегодные научно-практические конференции учащихся.
Лучшие ученические исследования, по решению жюри конференции
и педсовета, могут быть рассмотрены как форма сдачи экзамена по
предмету, соответствующему профилю исследования, и направлены
на городские, региональные и др. конференции.
Самостоятельная исследовательская деятельность позволяет вы-
явить «…собственных Платонов и быстрых разумом Невтонов…».
Выполнение детьми самостоятельных исследований дает воз-
можность удовлетворить их индивидуальные потребности и интере-
сы, выявить их индивидуальные возможности, т.е. максимально ин-
дивидуализировать обучение.
Но, нужно иметь в виду, что самостоятельная исследовательская
деятельность возможна лишь тогда, когда «… умственное развитие
учащихся достигает такого уровня, что они в состоянии осуще-
ствлять все этапы поисковой деятельности». [Скаткин М.Н. «Со-
вершенствование процесса обучения». М., 1971.С.129].
Исследовательская работа учащихся не носит универсально-
го характера и применяется в сочетании с другими видами дея-
тельности.
15
Литература
1. Айзенк Ганс Ю., Эванс Д. Как проверить способности вашего
ребенка. – М.: АСТ, 1998.
2. Безрукова В.С. Директору об исследовательской деятельности
школы/Библиотека журнала «Директор школы»– М.: Сентябрь,
2002 №2.
3. Белов А. Об организации учебно-исследовательской деятельно-
сти в области математики// Внешкольник.1997. № 7-8.
4. Брагинский И.А. Исследования юных. Научные общества уча-
щихся в России. История и современность. – М.: Просвещение,
1997.
5. Дереклеева Н.И. Научно-исследовательская работа в школе. –
М.: Вербум – М, 2001.
6. Долгих С. Школа собственных открытий// Народное образова-
ние. 2003. № 6.
7. Журнал «Директор школы». Спецвыпуск.1997. № 25.
8. Журнал «Директор школы»: 1998 № 6; 2002 №2; 2003 № 2.
9. Журнал «Математика в школе»: 1999 № 6, 2000 № 5,6,9; 2001
№ 7; 2003 №2-3; 2004 №2.
10. Загвязинский В.И. Учитель как исследователь. – М.: Просвеще-
ние, 1980.
11. Поволяева М.Н. Творчество педагога – творчество ребенка//
Внешкольник. 2000. № 11.
12. Русских Г.А. Развитие учебно-исследовательской деятельности
учащихся// Дополнительное образование.2001. № 7-8.
13. Савенков А.И. Одаренный ребенок в массовой школе/ Библио-
тека журнала «Директор школы» – М.: Сентябрь, 2001.
14. Счастная Т.П. Рекомендации по написанию научно-
исследовательских работ// Исследовательская работа школьни-
ков. 2003. № 4.
15. И.В. Усачева, И.И. Ильясов. Формирование учебной исследова-
тельской деятельности. – М., 1986.
16. Шумакова Н.Б. Исследование как основа обучения// Одаренные
дети и современное образование. 2003. № 5
